数学への挑戦 第二弾〜確率変数の足し算:数理モデルxプログラミング〜

今回は確率変数の足し算を学習します。
そして、学習に使用する本は下のような本です。

前回使用した表は下のようなものです。
この本に登場する、女子大生「青葉」の彼氏ができるか?を数理モデルで考えるために下のような表で考えました。

そして、男性1〜3までの「青葉」を好きになる結果は下のようになります。「Yesは好きになる」 「Noは好きにならない」です。
<表1>

男性1(X1) 男性2(X2) 男性3(X3) 合計
No No No 0
Yes No No 1
No Yes No 1
No No Yes 1
Yes Yes No 2
Yes No Yes 2
No Yes Yes 3
Yes Yes Yes 3

そして、確率変数(X1〜X3)に関して、X1とX2を抽出して1: 好きになる確率 0: 好きにならない確率を表にしたのが下のものです。

X1 X2
0 1 0 1 実験値
1/2 1/2 1/2 1/2 確率

これらをパターン分けして見ると下のようになります。

X1 X2 X1 + X2
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 2

独立した確率変数を足し算して見た結果もともと4パターンあったものが3パターンに減っています。

つまり、

X1, X2の独立下確率変数を1つの塊としてみる

と言うことが「確率変数の足し算」と言う意味です。
これはどう言うことかと言うと

「男性1が好きになり、男性2が好きにならない」という事象と「男性2が好きになり、男性1が好きにならない」という事象は「同時に起きない」

のでこのようなことを「排反事象」と呼ぶ。

そして上の<表1>を元に実験値と確率の表を作成すると。。。

パターン数が1のもの(合計が0 or 3)

① P(X1 + X2 + X3 = 0) = P(X1=0, X2=0, X3=0) = P(X1=0)P(X2=0)P(X3=0) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8

②P(X1 + X2 + X3 = 3) = P(X1=1, X2=1, X3=1) = P(X1=1)P(X2=1)P(X3=1) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8

パターン数が2のものは合計が(2になるもの)

③ P(X1 + X2 + X3 = 2) = P(X1=1, X2=1, X3=0) 
+ P(X1=0, X2=1, X3=1)
+ P(X1=1, X2=0, X3=1)

= P(X1=1)P(X2=1)P(X3=0) 
+ P(X1=0)P(X2=1)P(X3=1)
+ P(X1=1)P(X2=0)P(X3=1)
= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

パターン数が3のもの(合計が1)

④P(X1 + X2 + X3 = 1) = P(X1=1, X2=0, X3=0) 
+ P(X1=0, X2=1, X3=0)
+ P(X1=0, X2=0, X3=1)

= P(X1=1)P(X2=0)P(X3=0)
+ P(X1=0)P(X2=1)P(X3=0)
+ P(X1=0)P(X2=0)P(X3=1)
= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

これらを表にすると
<X1 + X2 + X3>

実現値 0 1 2 3
確率 1/8 3/8 3/8 1/8

ここまでの作業(計算)で「確率変数を作った」ことになります。

まとめ

こんな感じで物事に意味をもたせて「例」を作るというところが「確率変数の足し算」でキモになる内容でした。
しかし、プログラムに落とすところまでなかなか届きませんなぁ・・・
でわでわ。。。