数学への挑戦 第二弾〜確率変数の足し算：数理モデルxプログラミング〜

今回は確率変数の足し算を学習します。
そして、学習に使用する本は下のような本です。

その問題、数理モデルが解決します 社会を解き明かす数理モデル入門 [ 浜田 宏 ] 価格：2090円（税込、送料無料) (2019/11/20時点) 楽天で購入

前回使用した表は下のようなものです。
この本に登場する、女子大生「青葉」の彼氏ができるか？を数理モデルで考えるために下のような表で考えました。

そして、男性１〜３までの「青葉」を好きになる結果は下のようになります。「Yesは好きになる」 「Noは好きにならない」です。
＜表１＞

男性１(X1)	男性２(X2)	男性３(X3)	合計
No	No	No	0
Yes	No	No	1
No	Yes	No	1
No	No	Yes	1
Yes	Yes	No	2
Yes	No	Yes	2
No	Yes	Yes	3
Yes	Yes	Yes	3

そして、確率変数(X1〜X3)に関して、X1とX2を抽出して1: 好きになる確率 0: 好きにならない確率を表にしたのが下のものです。

X1		X2
0	1	0	1	実験値
1/2	1/2	1/2	1/2	確率

これらをパターン分けして見ると下のようになります。

X１	X2	X1 + X2
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	2

独立した確率変数を足し算して見た結果もともと４パターンあったものが３パターンに減っています。

つまり、

X1, X2の独立下確率変数を１つの塊としてみる

と言うことが「確率変数の足し算」と言う意味です。
これはどう言うことかと言うと

「男性１が好きになり、男性２が好きにならない」という事象と「男性2が好きになり、男性1が好きにならない」という事象は「同時に起きない」

のでこのようなことを「排反事象」と呼ぶ。

そして上の＜表１＞を元に実験値と確率の表を作成すると。。。

パターン数が１のもの(合計が0 or 3)

① P(X1 + X2 + X3 = 0) = P(X1=0, X2=0, X3=0) = P(X1=0)P(X2=0)P(X3=0) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8

②P(X1 + X2 + X3 = 3) = P(X1=1, X2=1, X3=1) = P(X1=1)P(X2=1)P(X3=1) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8

パターン数が2のものは合計が(2になるもの)

③ P(X1 + X2 + X3 = 2) = P(X1=1, X2=1, X3=0) 
+ P(X1=0, X2=1, X3=1)
+ P(X1=1, X2=0, X3=1)

= P(X1=1)P(X2=1)P(X3=0) 
+ P(X1=0)P(X2=1)P(X3=1)
+ P(X1=1)P(X2=0)P(X3=1)
= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

パターン数が3のもの(合計が１)

④P(X1 + X2 + X3 = 1) = P(X1=1, X2=0, X3=0) 
+ P(X1=0, X2=1, X3=0)
+ P(X1=0, X2=0, X3=1)

= P(X1=1)P(X2=0)P(X3=0)
+ P(X1=0)P(X2=1)P(X3=0)
+ P(X1=0)P(X2=0)P(X3=1)
= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

これらを表にすると
＜X1 + X2 + X3＞

実現値	0	1	2	3
確率	1/8	3/8	3/8	1/8

ここまでの作業(計算)で「確率変数を作った」ことになります。

まとめ

こんな感じで物事に意味をもたせて「例」を作るというところが「確率変数の足し算」でキモになる内容でした。
しかし、プログラムに落とすところまでなかなか届きませんなぁ・・・
でわでわ。。。

数理モデル関連

第二弾

• 数学への挑戦 第二弾〜数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜実装編：数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜集合を使う：数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜確率変数：数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜期待値と分散：数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜卒業までに彼氏ができる確率：数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜確率変数の足し算：数理モデルxプログラミング〜
• 数学への挑戦 第二弾〜まとめ１：数理モデルxプログラミング〜

第三弾

• 数学への挑戦第３弾：数理モデルを理解する